Normalverteilung

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Wenn es vorkommt, dass Zufallsgrößen reellwertig sind (Wartezeiten, Abstände oder Geschwindigkeiten) dann nennt man sie stetige Zufallsgrößen.

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Um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen kann man Funktionen nutzen wobei diese integriert werden müssen. Diese Funktion gilt dann als Wahrscheinlichkeitsdichte.

Bedingungen an die Funktion

$f(x) >= 0$

$\int_a^b f(x) dx=1$

Erwartungswert / Standartabweichung

Erwartungswert $μ =\int_a^b x*f(x)$

Standartabweichung $\sigma = \sqrt (\int_a^b (x-\mu)^2 * f(x) dx)$

Gauß´sche Glockenfunktion

$\varphi (x) = \frac {1}{\sigma * \sqrt(2\pi) } * e^\frac {-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$

Hochstellen ist bei $\mu$

Wendestellen ist bei $\mu \plusmn \sigma$

KEINE NULLSTELLEN

Die Fläche unter der Glockenfunktion ist gleich 1

Bei der Aufgabe muss man die Standartabweichung bestimmen.

Aber wie ? Man kann nur den Erwartungswert ablesen (hier bei 8,2).

Um die Standartabweichung zu bestimmen benutzt man die Sigma-Regeln.

Man weiß ja das $\mu \pm n*\sigma$ ein Intervall ergibt in welchem ein bestimmter Prozentsatz der Ergebnisse enthalten sind.

Das kann man sich zur nutze machen. Man nimmt zum Beispiel die erste Sigma-Regel. In dem Intervall befinden sich dann 68,3% der Ergebnisse. Man addiert dann die Hälfte dieses Prozentsatzes an den Wert des Erwartungswertes. Also $0,5 + 0,3415 = 0,8415$

Der Punkt ist (8,6 I 0,8415).

Als nächstes muss man rechnen: $8,6 - 8,2 = 0,4$

$\sigma = 0,4$

Auch mit den Gegenwahrscheinlichkeiten ist dies möglich. Also die Wahrscheinlichkeiten

von $-\infin$ bis $8,2-\sigma$ . In diesem Intervall muss die Wahrscheinlichkeit die Hälfte von 68,3 sein.

Stetigkeitskorrektur

Mit einer Normalverteilung kannst du auch eine Binomialverteilung annähern.

Dafür muss das $\sigma$ über 0,3 sein.

einfach den wert nehmen und oben plus 0,5 und unten minus 0,5

dann erhaltest du die Wahrscheinlichkeit bei dem Wert